FT(Fourier Transform)在滤波上的应用

news/2024/9/20 8:15:00

数学真的是一个神奇的科学，美妙之处无法言语形容。

傅里叶变换的推导见博客：

对于非周期的函数就是周期T趋于0，将一般非周期的函数写作傅里叶级数的形式：

$f(t)=\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{+\infty }\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\ e^{-i\omega t}dt\ e^{i\omega t}\ d\omega$

其中： $F(\omega )=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\ e^{-i\omega t}dt$ 就是FT(Fourier Transform)。

其中： $f(t)=\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{+\infty }F(\omega )\ e^{i\omega t}\ d\omega$ 就是IFT(inverse Fourier transform)。

傅里叶变换其中一个最主要的应用就是滤波上，关于滤波最主要的就是首选要确定他的频率是什么他的频谱是什么，然后找到我们不想要的这部分把它过滤掉就行了。

下面举个例子：

0、我们简单的图形：

（1）函数形式是 $cosx$

（2）函数形式是 $cos10x$

函数形式 $0.1cos10x$

（3）函数形式是 $cos100x$

放大看一下：

函数形式 $0.1cos100x$

1、比如说我们现在有一个这样的图形，函数形式是 $\cos x+0.1\cos10x+0.1\cos100x$

我们看到他是一个非常乱的图形，因为他有 $cos100x$ ，他是震动很快的。

把上述图像放大：

下图中绿色的是 $cos100x$ ，蓝色的是 $\cos x+0.1\cos10x+0.1\cos100x$

上图越放大看的越清楚，因为他是频率很高，所以变化很快，如果我们想滤波滤掉他，我们首先给你一个函数之后，可以把他进行一下傅里叶变换，这个时候在你的频谱图上你会看到 $\omega =1$ 的时候他会有一个这么1的振幅，因为cosx嘛，在 $\omega =10$ 的时候他有这么0.1的振幅，在 $\omega =100$ 的时候他有这么0.1的振幅，所以我们就会知道他这个比较讨厌的振幅是10和100，我们想把它去掉，这个时候就可以使用一些低通滤波器，(滤波器最简单的手段：最简单的这种低频率可以滤掉高频率的滤波器的一种手段就是你对他做积分就可以了，比如现在的 $\cos x+0.1\cos10x+0.1\cos100x$ 式子我们对他做积分就变成了 $sinx+0.01sin10x+0.001sin100x$ 看下图发现做完积分之后就会变的平滑多了，因为他把高频项 $10x$ 项缩小了10倍，把 $100x$ 项缩小了100倍，看到越高频的项通过积分之后他缩减的就越小(这就是为什么积分也叫低通滤波)，相当于原来的函数来说他只是有一个相位的平移，因为积分器本身来说他是一个线性滤波器，所以他对三角函数来说只是改变了他的振幅和相位，他的形状是不改变的，如果你觉得积分一次你不满意，你可以再对他进行一次积分)