1、微分定义

2、微分性质

微分是对函数局部变化率的一种表示。

在图像处理中有基于一阶微分和二阶微分的锐化空间滤波器(图像锐化是增强图像的突变部分)，其实一阶微分和二阶微分算子都可以得到图像的边缘，只是效果不一样。

一阶微分的性质：

（1）在恒定的灰度区域，图像的微分值为0.（灰度值没有发生变换，自然微分为0）
（2）在灰度台阶或斜坡起点处微分值不为0.（台阶是，灰度值的突变变化较大；斜坡则是灰度值变化较缓慢；灰度值发生了变化，微分值不为0）
（3）沿着斜坡的微分值不为0.
使用二阶微分进行图像锐化；

二阶微分，是一阶微分的导数，和一阶微分相对应，二阶微分的性质：

（1）在恒定区域二阶微分值为0；
（2）在灰度台阶或斜坡的起点处微分值不为0；
（3）沿着斜坡的微分值为0；

从以上图像灰度的一阶和二阶微分的性质可以看出，在灰度值变化的地方，一阶微分和二阶微分的值都不为0；在灰度恒定的地方，微分值都为0.也就是说，不论是使用一阶微分还是二阶微分都可以得到图像灰度的变化值。

3、在图像中一阶微分和二阶微分的计算公式

图像可以看做是二维离散函数，为了与二维图像函数 $f(x,y)$ 的微分保持一致，下面使用了偏导数符号。

3.1、图像的一阶微分计算公式

3.2、图像的二阶微分计算公式

4、图像边缘的灰度值一般形式

对于图像边缘处的灰度值来说，通常有两种突变形式：

（1）边缘两边图像灰度差异较大，这就形成了灰度台阶。在台阶处，一阶微分和二阶微分的值都不为0。

（2）边缘两边图像灰度变化不如台阶那么剧烈，会形成一个缓慢变换的灰度斜坡。在斜坡的起点和终点一阶微分和二阶微分的值都不为0，但是沿着斜坡一阶微分的值不为0，而二阶微分的值为0。

PS：对于图像的边缘来说，通常会形成一个斜坡过度。一阶微分在斜坡处的值不为0，那么用其得到的边缘较粗；而二阶微分在斜坡处的值为0，但在斜坡两端值不为0，且值得符号不一样，这样二阶微分得到的是一个由0分开的一个像素宽的双边缘。也就说，二阶微分在增强图像细节方面比一阶微分好得多，并且在计算上也要比一阶微分方便。