接上篇文章齐次坐标的理解（1）：https://blog.csdn.net/m0_37957160/article/details/119549709

“齐次坐标表示是计算机图形学的重要手段之一，它既能够用来明确区分向量和点，同时也更易用于进行仿射（线性）几何变换。”—— F.S. Hill, JR。

1、齐次变换的两种解读

所以由上边我们可以基于两种理解：

（1）齐次坐标可以将n维空间中不明确的概念给明确出来。这句话如何理解呢？

比如在二维空间中 $(x,y)$ 不只可以表示一个坐标，还可以表示一个向量(向量就是有确定的长度哈确定的方向，他的位置是不固定的，在二维坐标系中它可以任意移动，只要他的长度和方向是固定的就行)。所以如果在二维形式下你写作 $(x,y)$ 是存在歧义的，其一表示向量，其二表示坐标。所以引入齐次坐标这种记法，表示向量写作 $(x,y,0)$ ；表示坐标的话写作 $(x,y,1)$ ；我们把n维变成n+1维，表示向量在后边添加0；表示坐标在后边添加1，表示n维的那个坐标。
这样，(1, 4, 7)如果写成（1,4,7,0），它就是个向量；如果是(1,4,7,1)，它就是个点。下面是如何在普通坐标(Ordinary Coordinate)和齐次坐标(Homogeneous Coordinate)之间进行转换：

(1)从普通坐标转换成齐次坐标时：

如果(x,y,z)是个点，则变为(x,y,z,1);

如果(x,y,z)是个向量，则变为(x,y,z,0)；

(2)从齐次坐标转换成普通坐标时：

如果是(x,y,z,1)，则知道它是个点，变成(x,y,z);

如果是(x,y,z,0)，则知道它是个向量，仍然变成(x,y,z)；

以上是通过齐次坐标来区分向量和点的方式。从中可以思考得知，对于平移T、旋转R、缩放S这3个最常见的仿射变换，平移变换只对于点才有意义，因为普通向量没有位置概念，只有大小和方向。而旋转和缩放对于向量和点都有意义。

此外，对于一个普通三维坐标的点 P=(Px, Py, Pz) ，有对应的一族齐次坐标 (wPx, wPy, wPz, w) ，其中 w 不等于零。比如， P(1, 4, 7) 的齐次坐标有 (1, 4, 7, 1) 、（ 2, 8, 14, 2 ）、（ -0.1, -0.4, -0.7, -0.1 ）等等。因此，如果把一个点从普通坐标变成齐次坐标，给 x,y,z 乘上同一个非零数 w ，然后增加第 4 个分量 w ；如果把一个齐次坐标转换成普通坐标，把前三个坐标同时除以第 4 个坐标，然后去掉第 4 个分量。

由于齐次坐标使用了 4 个分量来表达 3D 概念，使得平移变换可以使用矩阵进行，从而如 F.S. Hill, JR 所说，仿射（线性）变换的进行更加方便。由于图形硬件已经普遍地支持齐次坐标与矩阵乘法，因此更加促进了齐次坐标使用，使得它似乎成为图形学中的一个标准。

-----所以很明显的区分向量和坐标。

（2）引入齐次坐标，可以非常方便的进行仿射(线性)几何变换。（简而言之就是很方便进行矩阵运算）

具体解释我们以二维图像的几何变换矩阵推导为例来进行解释：

2、二维图像的几何变换矩阵推导

常用到的二维图像的几何变换有三种：

（1）平移
（2）缩放
（3）旋转

对二维图像做几何变换实际上就是把 $(x,y)$ 坐标变换为一个新的坐标 $(X,Y)$ 。所以想进行变换就需要找到 $(x,y)$ 变换到 $(X,Y)$ 之间的一个关系。

针对于三种变换我们会给出变换的公式形式以及变换的矩阵形式，使用变换的矩阵形式(矩阵形式的运算容易被计算机所理解和计算，并且效率很高C++中的Eigen运算)坐标。

图像的缩放变换和旋转变换，可以用矩阵乘法的形式来表达变换后的像素位置映射关系。

对于平移变换呢？平移变换表示的是位置变化的概念。如下图所示，一个图像矩形从中心点[x1,y1]平移到了中心点[x2,y2]处，整体大小和角度都没有变化。在x方向和y方向上分别平移了tx和ty大小。

这里写图片描述

显然：

$x2=x1+tx$

平移变换： $y2=y1+ty$

这对于图像中的每一个点都是成立的。写成矩阵的形式就是：

平移矩阵形式：

我们再把前面的缩放变换和旋转变换的矩阵形式写出来：

缩放矩阵形式：

旋转变换形式：

我们注意到，缩放变换和旋转变换都可以表示成矩阵乘法的形式。实际上，图像的几何变换通常不是单一的，也就是说经常性的缩放、旋转、平移一起变换。例如先放大2倍，然后旋转45度，然后再缩小0.5倍。那么就可以表示成矩阵乘法串接的形式：

这样，不管有多少次变换，都可以用矩阵乘法来实现。但是平移变换呢？从前面看到，平移变换并不是矩阵乘法的形式，而是矩阵加法的形式！

那能不能把缩放变换、旋转变换、平移变换统一成矩阵乘法的形式呢，这样不管进行多少次变换，都可以表示成矩阵连乘的形式，将极大的方便计算和降低运算量。

这种方法就是“升维”，引入“齐次坐标”，将图像从平面2D坐标变成3D坐标。我们看看平移变换的矩阵形式：

将其升维，变成3维，上式就可以表示成：

升维之后才满足矩阵的乘法法则：3行3列乘以3行1列=3行1列；否则没有办法写成矩阵乘法的形式。

这样，平移变换通过升维后的齐次坐标，也变成了矩阵乘法的形式。当然缩放变换和旋转变换的矩阵形式也得改一改，统一变成3维的形式。

缩放变换：

旋转变换：

终于统一了。以后所有的变换，不管怎样变换，变换多少次，都可以表示成一连串的矩阵相乘了，这是多么的方便。这就是引入齐次坐标的第二种理解作用，把各种变换都统一了起来。

PS：齐次坐标就是将一个原本是n维的向量用一个n+1维向量来表示。
许多图形应用涉及到几何变换，主要包括平移、旋转、缩放。以矩阵表达式来计算这些变换时，平移是矩阵相加，旋转和缩放则是矩阵相乘，综合起来可以表示为 x=R∗X+t（注：因为习惯的原因，实际使用时一般使用变化矩阵左乘向量）(R 旋转缩放矩阵，t 为平移矩阵，X为原向量，x 为变换后的向量)。

具体的旋转变换见链接：https://blog.csdn.net/m0_37957160/article/details/111167036

https://wenku.baidu.com/view/7962a10376232f60ddccda38376baf1ffc4fe30c.html

参考链接：https://www.cnblogs.com/csyisong/archive/2008/12/09/1351372.html

https://blog.csdn.net/zhuiqiuzhuoyue583/article/details/95230246